뉴턴이 이룬 가장 큰 업적은 운동방정식을 찾은 일이다. 방정식이란 이미 알고 있는 것과 아직 모르는 것 사이의 관계를 기술해주는 수식을 말한다. 예컨대 ‘x + 3 = 5’에서 아는 것은 3과 5고 모르는 것은 x다. +와 =는 아는 것과 모르는 것을 관계짓는 기호다. ‘x + 3 = 5’같은 방정식을 x에 대한 1차 방정식이라 한다. 방정식이 주어지면 우리는 아는 것으로부터 모르는 것을 이끌어낼 수 있다. 아는 것으로부터 모르는 것을 이끌어내는 일을 “방정식을 푼다”라고 하고 방정식을 풀어서 나온 결과를 “해” 또는 “풀이”라 한다. ‘x + 3 = 5’를 풀면 x의 풀이가 2임을 알게 된다. 우리는 ‘x2 - 5x + 6 = 0’처럼 더 어려워 보이는 방정식도 풀 수 있다. x의 값에 2를 넣으면 오른쪽과 왼쪽이 똑같다는 것을 알 수 있다. 또 x의 값에 3을 넣어도 오른쪽과 왼쪽이 똑같다는 것을 알 수 있다.
물체의 운동을 알아내는 데 필요한 정보는 두 가지다. 하나는 물체 자체에 관한 정보고 다른 하나는 물체가 놓인 바깥 환경에 관한 정보다. 물체는 움직임을 바꾸지 않으려는 내부 성향을 지닌다. 이를 “관성” 또는 “관성질량”이라 한다. 물체 바깥에서 미치는 힘은 물체가 어떤 환경에 놓여 있느냐를 말해준다.
우리는 물체에 관해 아는 것으로부터 그 물체가 앞으로 어떻게 움직일지를 풀어내고 싶다. 뉴턴은 물체에 관해 아는 것과 물체의 미래 운동 사이의 관계를 기술하는 수식을 찾아내었다. 이 수식을 “운동방정식”이라 한다. 운동방정식에서 우리가 몰라 풀어내야 하는 것은 물체의 운동이다. 물체의 운동을 알아내는 데 필요한 정보는 두 가지다. 하나는 물체 자체에 관한 정보고 다른 하나는 물체가 놓인 바깥 환경에 관한 정보다. 물체는 움직임을 바꾸지 않으려는 내부 성향을 지닌다. 이를 “관성” 또는 “관성질량”이라 한다. 물체 바깥에서 미치는 힘은 물체가 어떤 환경에 놓여 있느냐를 말해준다. 뉴턴의 운동방정식을 푸는 일은 곧 우리에게 알려진 이 두 정보로부터 그 물체가 어떻게 움직일지를 알아내는 일이다. 물체가 움직이지 않으려는 내부 성향이 클수록 움직임의 바뀜 정도는 작을 것이고, 물체 바깥에서 물체에 미치는 힘이 클수록 움직임의 바뀜 정도는 클 것이다. 뉴턴은 이 직관으로부터 ‘F=ma’ 또는 ‘a = F/m’라는 운동방정식을 얻었다. 여기서 m은 물체의 관성질량이고 F는 물체 바깥에서 물체에 미치는 힘이다. a는 움직임의 바뀜 정도를 나타내는 양이다. a는 m에 반비례하고 F에 비례한다.
뉴턴은 데카르트를 따라 관성의 법칙을 첫째 운동 법칙으로 삼았다. 물체에 미치는 힘이 없다면, 멈춘 물체는 줄곧 멈추어 있고, 같은 빠르기로 똑바로 움직이는 물체는 줄곧 같은 빠르기로 똑바로 움직인다. 따라서 물체의 움직임이 바뀐다는 것은 물체의 위치가 바뀐다는 것을 뜻하지 않는다. 움직임이 바뀐다는 것은 멈춘 것이 움직이거나, 움직이던 것이 더 빠르게 또는 더 늦게 움직이거나, 움직이던 길을 틀어 다른 쪽으로 움직이는 것을 뜻한다. “속도가 바뀐다” 또는 “가속도가 있다”는 말은 이 모든 것을 함께 나타낸다. 가속도는 곧 속도 바뀜의 크기다. 가속도는 움직임의 바뀜 정도를 잘 나타내준다. 물체의 가속도를 안다면 이로부터 그 물체가 앞으로 어떻게 움직일지를 알게 된다. ‘a = F/m’는 물체의 질량과 물체가 받는 힘으로부터 물체의 가속도를 알려주는 방정식이다. 이 방정식은 보기와 달리 풀기가 매우 어렵다. 이 방정식에는 미분이 들어있다. ‘미분’은 뉴턴과 라이프니츠가 만든 수학 개념인데 한 양의 변화 정도를 나타낸다. [아래 그림의 출처는 여기]
한 값과 다른 값을 이어주는 수식을 “함수”라 하는데, 한 사물이 때에 따라 어디에 있는지를 나타내는 함수를 그 사물의 “궤적”이라 한다. 물체의 궤적에 시점을 넣어주면 그 시점에서 물체의 위치가 셈해진다. 물체의 궤적이 알려지면 물체가 앞으로 어떻게 움직일지도 알려진다. 속도는 위치의 변화 정도기 때문에 시간에 따른 물체의 위치 함수 곧 궤적을 미분하면 속도 함수를 얻을 수 있다. 속도 함수는 시간에 따른 물체의 위치를 알려준다. 가속도는 속도의 변화 정도기 때문에 속도 함수를 미분하면 가속도 함수를 얻을 수 있다. 가속도 함수에서 거꾸로 속도 함수를 얻어낼 수도 있다. 이 과정은 미분 셈을 거꾸로 하는 셈이다. 미분 셈을 거꾸로 하는 셈을 “적분”이라 하고 뉴턴은 이 셈도 처음으로 만들어냈다. 아무튼 가속도 함수를 알면 수학 계산으로 속도 함수를 알 수 있고 속도 함수를 알면 궤적 함수를 알 수 있다. 다행히 가속도 함수는 ‘a = F/m’로부터 알 수 있다. 이런 뜻에서 ‘a = F/m’는 궤적 방정식이다. 이 방정식을 풀면 그 해로서 사물의 궤적이 나온다. ‘a = F/m’에서 F 자리에 행성이 해로부터 받는 만유인력을 넣고 m에 행성의 질량을 넣어 이 방정식을 풀면 행성이 타원 운동을 한다는 것을 셈할 수 있다. 물체들이 시시각각 어디에서 어디로 가는지 셈하는 운동방정식을 찾은 일은 진정한 과학을 찾은 일이었다. 달랑베르는 자기 시대를 이성이 깨어난 시대로 보았다. 그는 뉴턴에 와서야 마침내 철학이 마땅히 지녀야 할 모습을 띠게 되었다고 말했다.
물체들이 시시각각 어디에서 어디로 가는지 셈하는 운동방정식을 찾은 일은 진정한 과학을 찾은 일이었다. 달랑베르는 자기 시대를 이성이 깨어난 시대로 보았다. 그는 뉴턴에 와서야 마침내 철학이 마땅히 지녀야 할 모습을 띠게 되었다고 말했다.
1781년 윌리엄 허셜은 천왕성을 발견했다. 천왕성은 타원 궤도를 그리지 않았고 알렉시스 부바르는 뉴턴 이론이 틀렸을까 걱정했다. 뉴턴의 이론을 굳게 믿었던 이들은 이 일을 목성과 토성의 중력 탓으로 돌렸다. 조제프루이 라그랑주와 피에르시몽 라플라스는 원래 운동에 작은 건드림이 생겼을 때 기존 운동이 어떻게 바뀔지를 셈하는 이론을 만들었다. 이를 “건드림 이론”이라 한다. 건드림 이론을 써보았지만 계산된 천왕성 궤도는 실제 관측 자료와 맞아떨어지지 않았다. 독일의 프리드리히 베셀은 토성의 질량을 늘림으로써 이 차이를 없애려 했지만 토성 궤도가 너무 커져 다른 관찰들과 맞지 않았다. 베셀은 천왕성 너머에 있는 행성 때문에 건드림이 생긴 것 같다고 존 허셜에게 말했다. 프랑스의 위르뱅 르베리에도 이와 비슷하게 예측했다. 1843년 케임브리지 대학 학생 존 애덤스는 그 행성의 질량이 어느 정도이며 어떤 궤도를 돌아야 하는지를 뉴턴 이론에 따라 셈했다. 그는 1845년 자기 계산 결과를 케임브리지 천문대장 챌리스와 영국 그리니치 천문대 왕립 천문학자 에어리에게 보냈다. 르베리에도 이를 셈해 그 결과를 1845년 11월에 출판했고 에어리와 베를린 천문대의 갈레에게 보냈다. 1846년 11월 르베리에의 편지를 받았던 그 날 갈레는 몇 시간이 지나지 않아 새로운 행성 해왕성을 찾았다.
한편 1820년 4월 외르스테드 덕분에 우리는 전기 현상에서 자기 현상이 일어날 수 있음을 알게 되었다. 그해 9월에 피에르 앙페르는 코일에 전류를 흘려보낼 때 코일이 마치 자석처럼 바뀐다는 것을 알게 되었다. 1년 후 패러데이는 전류를 흘려 전선이나 자석을 돌게 하는 장치를 만들었고 이로써 전기 모터를 만든 첫 사람이 되었다. 1825년 파리의 도미니크 아라고는 나침반을 움직이는 구리 조각 옆에 둘 때 나침반 바늘이 흔들린다는 사실을 발견했다. 1831년 패러데이는 자기 현상에서 전기 현상이 일어날 수 있음을 발견했고 발전기를 만든 첫 사람이 되었다. 그는 당시 찰스 휘트스톤과 에른스트 클라드니의 소리 진동 연구에 관심을 보였다. 덕분에 그는 소리와 빛이 그렇듯이 자기와 전기가 파동처럼 번져나갈지 모른다고 생각하게 되었다. 1846년에는 빛과 자기가 서로 영향을 미칠 수 있다는 사실까지 알게 되었다. 1803년 토마스 영과 1821년 오귀스텡 프레넬의 연구 때문에 빛이 파동이며 횡파라는 사실이 이미 또렷해져 있었다. ‘횡파’란 파동의 진동 방향과 진행 방향이 직각인 파동을 말한다. 예컨대 물결파는 횡파인데 물결파는 위아래로 출렁이며 앞으로 나아간다. 패러데이는 빛이 에테르의 충격파가 아니라 힘의 선이 마치 밧줄처럼 출렁이는 파동이 아닌가 어렴풋이 생각했다. [아래 그램은 1821년 패러데이의 모터. 그림 출처는 여기]
제임스 맥스웰은 1856년 <패러데이의 역선>을 쓴 뒤 1862년까지 힘의 선을 깊이 연구하여 발표했다. 그는 패러데이의 마당 개념을 실제 모형으로 나타내고 싶었다. 이 일을 하면서 그는 전기 힘의 마당과 자기 힘의 마당이 퍼져나가는 속도를 셈했다. 그의 계산 결과는 빛의 속도와 같았다. 레옹 푸코가 1862년에 잰 빛의 속도는 298,000km/s인데 오늘날 측정값 299,792km/s와 크게 다르지 않다. 맥스웰은 1865년 패러데이의 마당 개념을 다룰 수 있는 “전자기마당의 동역학 이론”을 마침내 만들었다. 전기 힘의 마당과 자기 힘의 마당은 파동처럼 빛의 빠르기로 번져나갔다. 이 파동이 따라야 하는 방정식을 “맥스웰의 방정식”이라 한다. 맥스웰 방정식은 뉴턴 방정식과 더불어 고전물리학의 두 축을 이루었다. 두 물리학이 “당대” 또는 “현대”의 물리학이 되기도 전에 새로운 물리학이 20세기에 나타났다. 클라라 20190711
뉴턴이 이룬 가장 큰 업적은 운동방정식을 찾은 일이다. 방정식이란 이미 알고 있는 것과 아직 모르는 것 사이의 관계를 기술해주는 수식을 말한다. 예컨대 ‘x + 3 = 5’에서 아는 것은 3과 5고 모르는 것은 x다. +와 =는 아는 것과 모르는 것을 관계짓는 기호다. ‘x + 3 = 5’같은 방정식을 x에 대한 1차 방정식이라 한다. 방정식이 주어지면 우리는 아는 것으로부터 모르는 것을 이끌어낼 수 있다. 아는 것으로부터 모르는 것을 이끌어내는 일을 “방정식을 푼다”라고 하고 방정식을 풀어서 나온 결과를 “해” 또는 “풀이”라 한다. ‘x + 3 = 5’를 풀면 x의 풀이가 2임을 알게 된다. 우리는 ‘x2 - 5x + 6 = 0’처럼 더 어려워 보이는 방정식도 풀 수 있다. x의 값에 2를 넣으면 오른쪽과 왼쪽이 똑같다는 것을 알 수 있다. 또 x의 값에 3을 넣어도 오른쪽과 왼쪽이 똑같다는 것을 알 수 있다.
우리는 물체에 관해 아는 것으로부터 그 물체가 앞으로 어떻게 움직일지를 풀어내고 싶다. 뉴턴은 물체에 관해 아는 것과 물체의 미래 운동 사이의 관계를 기술하는 수식을 찾아내었다. 이 수식을 “운동방정식”이라 한다. 운동방정식에서 우리가 몰라 풀어내야 하는 것은 물체의 운동이다. 물체의 운동을 알아내는 데 필요한 정보는 두 가지다. 하나는 물체 자체에 관한 정보고 다른 하나는 물체가 놓인 바깥 환경에 관한 정보다. 물체는 움직임을 바꾸지 않으려는 내부 성향을 지닌다. 이를 “관성” 또는 “관성질량”이라 한다. 물체 바깥에서 미치는 힘은 물체가 어떤 환경에 놓여 있느냐를 말해준다. 뉴턴의 운동방정식을 푸는 일은 곧 우리에게 알려진 이 두 정보로부터 그 물체가 어떻게 움직일지를 알아내는 일이다. 물체가 움직이지 않으려는 내부 성향이 클수록 움직임의 바뀜 정도는 작을 것이고, 물체 바깥에서 물체에 미치는 힘이 클수록 움직임의 바뀜 정도는 클 것이다. 뉴턴은 이 직관으로부터 ‘F=ma’ 또는 ‘a = F/m’라는 운동방정식을 얻었다. 여기서 m은 물체의 관성질량이고 F는 물체 바깥에서 물체에 미치는 힘이다. a는 움직임의 바뀜 정도를 나타내는 양이다. a는 m에 반비례하고 F에 비례한다.
뉴턴은 데카르트를 따라 관성의 법칙을 첫째 운동 법칙으로 삼았다. 물체에 미치는 힘이 없다면, 멈춘 물체는 줄곧 멈추어 있고, 같은 빠르기로 똑바로 움직이는 물체는 줄곧 같은 빠르기로 똑바로 움직인다. 따라서 물체의 움직임이 바뀐다는 것은 물체의 위치가 바뀐다는 것을 뜻하지 않는다. 움직임이 바뀐다는 것은 멈춘 것이 움직이거나, 움직이던 것이 더 빠르게 또는 더 늦게 움직이거나, 움직이던 길을 틀어 다른 쪽으로 움직이는 것을 뜻한다. “속도가 바뀐다” 또는 “가속도가 있다”는 말은 이 모든 것을 함께 나타낸다. 가속도는 곧 속도 바뀜의 크기다. 가속도는 움직임의 바뀜 정도를 잘 나타내준다. 물체의 가속도를 안다면 이로부터 그 물체가 앞으로 어떻게 움직일지를 알게 된다. ‘a = F/m’는 물체의 질량과 물체가 받는 힘으로부터 물체의 가속도를 알려주는 방정식이다. 이 방정식은 보기와 달리 풀기가 매우 어렵다. 이 방정식에는 미분이 들어있다. ‘미분’은 뉴턴과 라이프니츠가 만든 수학 개념인데 한 양의 변화 정도를 나타낸다. [아래 그림의 출처는 여기]
한 값과 다른 값을 이어주는 수식을 “함수”라 하는데, 한 사물이 때에 따라 어디에 있는지를 나타내는 함수를 그 사물의 “궤적”이라 한다. 물체의 궤적에 시점을 넣어주면 그 시점에서 물체의 위치가 셈해진다. 물체의 궤적이 알려지면 물체가 앞으로 어떻게 움직일지도 알려진다. 속도는 위치의 변화 정도기 때문에 시간에 따른 물체의 위치 함수 곧 궤적을 미분하면 속도 함수를 얻을 수 있다. 속도 함수는 시간에 따른 물체의 위치를 알려준다. 가속도는 속도의 변화 정도기 때문에 속도 함수를 미분하면 가속도 함수를 얻을 수 있다. 가속도 함수에서 거꾸로 속도 함수를 얻어낼 수도 있다. 이 과정은 미분 셈을 거꾸로 하는 셈이다. 미분 셈을 거꾸로 하는 셈을 “적분”이라 하고 뉴턴은 이 셈도 처음으로 만들어냈다. 아무튼 가속도 함수를 알면 수학 계산으로 속도 함수를 알 수 있고 속도 함수를 알면 궤적 함수를 알 수 있다. 다행히 가속도 함수는 ‘a = F/m’로부터 알 수 있다. 이런 뜻에서 ‘a = F/m’는 궤적 방정식이다. 이 방정식을 풀면 그 해로서 사물의 궤적이 나온다. ‘a = F/m’에서 F 자리에 행성이 해로부터 받는 만유인력을 넣고 m에 행성의 질량을 넣어 이 방정식을 풀면 행성이 타원 운동을 한다는 것을 셈할 수 있다. 물체들이 시시각각 어디에서 어디로 가는지 셈하는 운동방정식을 찾은 일은 진정한 과학을 찾은 일이었다. 달랑베르는 자기 시대를 이성이 깨어난 시대로 보았다. 그는 뉴턴에 와서야 마침내 철학이 마땅히 지녀야 할 모습을 띠게 되었다고 말했다.
1781년 윌리엄 허셜은 천왕성을 발견했다. 천왕성은 타원 궤도를 그리지 않았고 알렉시스 부바르는 뉴턴 이론이 틀렸을까 걱정했다. 뉴턴의 이론을 굳게 믿었던 이들은 이 일을 목성과 토성의 중력 탓으로 돌렸다. 조제프루이 라그랑주와 피에르시몽 라플라스는 원래 운동에 작은 건드림이 생겼을 때 기존 운동이 어떻게 바뀔지를 셈하는 이론을 만들었다. 이를 “건드림 이론”이라 한다. 건드림 이론을 써보았지만 계산된 천왕성 궤도는 실제 관측 자료와 맞아떨어지지 않았다. 독일의 프리드리히 베셀은 토성의 질량을 늘림으로써 이 차이를 없애려 했지만 토성 궤도가 너무 커져 다른 관찰들과 맞지 않았다. 베셀은 천왕성 너머에 있는 행성 때문에 건드림이 생긴 것 같다고 존 허셜에게 말했다. 프랑스의 위르뱅 르베리에도 이와 비슷하게 예측했다. 1843년 케임브리지 대학 학생 존 애덤스는 그 행성의 질량이 어느 정도이며 어떤 궤도를 돌아야 하는지를 뉴턴 이론에 따라 셈했다. 그는 1845년 자기 계산 결과를 케임브리지 천문대장 챌리스와 영국 그리니치 천문대 왕립 천문학자 에어리에게 보냈다. 르베리에도 이를 셈해 그 결과를 1845년 11월에 출판했고 에어리와 베를린 천문대의 갈레에게 보냈다. 1846년 11월 르베리에의 편지를 받았던 그 날 갈레는 몇 시간이 지나지 않아 새로운 행성 해왕성을 찾았다.
한편 1820년 4월 외르스테드 덕분에 우리는 전기 현상에서 자기 현상이 일어날 수 있음을 알게 되었다. 그해 9월에 피에르 앙페르는 코일에 전류를 흘려보낼 때 코일이 마치 자석처럼 바뀐다는 것을 알게 되었다. 1년 후 패러데이는 전류를 흘려 전선이나 자석을 돌게 하는 장치를 만들었고 이로써 전기 모터를 만든 첫 사람이 되었다. 1825년 파리의 도미니크 아라고는 나침반을 움직이는 구리 조각 옆에 둘 때 나침반 바늘이 흔들린다는 사실을 발견했다. 1831년 패러데이는 자기 현상에서 전기 현상이 일어날 수 있음을 발견했고 발전기를 만든 첫 사람이 되었다. 그는 당시 찰스 휘트스톤과 에른스트 클라드니의 소리 진동 연구에 관심을 보였다. 덕분에 그는 소리와 빛이 그렇듯이 자기와 전기가 파동처럼 번져나갈지 모른다고 생각하게 되었다. 1846년에는 빛과 자기가 서로 영향을 미칠 수 있다는 사실까지 알게 되었다. 1803년 토마스 영과 1821년 오귀스텡 프레넬의 연구 때문에 빛이 파동이며 횡파라는 사실이 이미 또렷해져 있었다. ‘횡파’란 파동의 진동 방향과 진행 방향이 직각인 파동을 말한다. 예컨대 물결파는 횡파인데 물결파는 위아래로 출렁이며 앞으로 나아간다. 패러데이는 빛이 에테르의 충격파가 아니라 힘의 선이 마치 밧줄처럼 출렁이는 파동이 아닌가 어렴풋이 생각했다. [아래 그램은 1821년 패러데이의 모터. 그림 출처는 여기]
제임스 맥스웰은 1856년 <패러데이의 역선>을 쓴 뒤 1862년까지 힘의 선을 깊이 연구하여 발표했다. 그는 패러데이의 마당 개념을 실제 모형으로 나타내고 싶었다. 이 일을 하면서 그는 전기 힘의 마당과 자기 힘의 마당이 퍼져나가는 속도를 셈했다. 그의 계산 결과는 빛의 속도와 같았다. 레옹 푸코가 1862년에 잰 빛의 속도는 298,000km/s인데 오늘날 측정값 299,792km/s와 크게 다르지 않다. 맥스웰은 1865년 패러데이의 마당 개념을 다룰 수 있는 “전자기마당의 동역학 이론”을 마침내 만들었다. 전기 힘의 마당과 자기 힘의 마당은 파동처럼 빛의 빠르기로 번져나갔다. 이 파동이 따라야 하는 방정식을 “맥스웰의 방정식”이라 한다. 맥스웰 방정식은 뉴턴 방정식과 더불어 고전물리학의 두 축을 이루었다. 두 물리학이 “당대” 또는 “현대”의 물리학이 되기도 전에 새로운 물리학이 20세기에 나타났다. 클라라 20190711